Une égalité intégrale

J’ai trouvé cette égalité dans un article de Vassilis Papanicolaou (Ewald’s Method Revisited: Rapidly Convergent Series Representations of Certain Green’s Functions), et je l’ai trouvée très étrange. Voici l’énoncé.

Une égalité intégrale

Soit \({f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) une fonction intégrable sur \({\mathbb{R}}\). Montrer que

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) {\rm d} x. \)

Avant de donner la solution, voici pourquoi je trouve cette égalité étrange. En répétant cette égalité, on trouve

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f\left( x + \frac{1}{x} – \frac{1}{ x + \frac{1}{x} } \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f \left( \frac{x^4 + x^2 +1}{x^3 + x} \right) {\rm d} x. \)

On peut itérer le processus, et on trouvera en argument de \({f}\) des fractions rationnelles de plus en plus complexes ! Par exemple, à partir du classique

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \dfrac{1}{1 + x^2} {\rm d}x = {\rm arctan}(\infty) – {\rm arctan}(-\infty) = \pi, \)

on trouve l’égalité (ridicule) suivante:

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \dfrac{x^6 + 2 x^4 + x^2}{ x^8 + 3 x^6 + 5 x^4 + 3 x^2 + 1} {\rm d} x = \pi. \)

Évidemment, il y a un truc, et il faut trouver le truc.

Cliquez ici pour voir la solution
On commence par faire le changement de variable \({y = – \frac{1}{x}}\) dans le membre de droite. On obtient

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \int_{\mathbb{R}} f \left( – \frac{1}{y} + y \right) \frac{{\rm d}y}{y^2}, \)

et donc

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) {\rm d}x = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) {\rm d} x. \)

On fait ensuite le changement de variable \({y = \varphi(x) := x – \frac{1}{x}}\) dans le membre de droite. L’application \({\varphi}\) est bijective de \({\mathbb{R}^{+*}}\) dans \({\mathbb{R}}\), et bijective de \({\mathbb{R}^{-*}}\) dans \({\mathbb{R}}\). On obtient

\(\displaystyle \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d}x, \)

qui est l’égalité cherchée.

Dans l’article sus-cité, cette égalité est utilisée pour démontrer l’égalité suivante, que je laisse en exercice :

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} {\rm e}^{-x^2 – \frac{1}{x^2}} {\rm d}x = \sqrt{\pi} {\rm e}^{-2}. \)

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  1. Ping :Une drôle d’intégrale – Pneumalea

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