Questions dénombrables

Commençons tout de suite la catégorie Problèmes par un nombre (au plus) dénombrable de problèmes sur les ensembles dénombrables.

Ce premier problème m’a été posé par mon ami Bastien, et fait parti de mes problèmes favoris. Voici l’énoncé.

Les 8 (*)

On appelle 8 une courbe fermée comportant exactement un point double. Peut-on mettre un nombre indénombrable de 8 dans le plan qui sont 2 à 2 disjoints ?

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La réponse est non.

En effet, pour chaque 8, on peut trouver un couple de points à coordonnées rationnelles dont le premier est dans la première boucle du 8, et le second est dans la seconde. De plus, grâce à l’hypothèse de non-croisement, un tel couple de points ne peut provenir que d’au plus un 8. On peut donc construire une injection de l’ensemble des 8 dans \({\mathbb{Q}^2 \times \mathbb{Q}^2}\).

Notez que si on remplace les 8 par des O (des boucles sans point double), alors le problème est trivial ; il suffit de considérer l’ensemble \({ \{\mathcal{B}_r\}_{r > 0} }\), où \({ B_r := \{ x \in \mathbb{R}^2, \ | x | = r\} }\).

Voici maintenant un problème dans le même esprit, mais plus classique et plus instructif. Les jeunes lecteurs pourront remplacer le terme ouvert par boule de rayon strictement positif.

Les ouvert (*)

Peut-on mettre un nombre indénombrable d’ouverts 2 à 2 disjoints dans \({ \mathbb{R}^d }\) ?

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Non, pour la même raison. On peut trouver un point à coordonnées rationnelles dans chacune de ces boules, et on obtient un injection de l’ensemble des boules dans \( \mathbb{Q}^d \).

Un corollaire direct, mais amusant, et certainement pas simple si on ne connait pas les problèmes précédents.

Les maxima locaux (*)

Est-ce qu’une fonction \({ f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R} }\) peut avoir un nombre indénombrable de maxima locaux stricts ?

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Non. Si c’était le cas, on pourrait construire une famille indénombrable d’ouverts 2 à 2 disjoints, et se ramener au problème précédent.

Je vous laisse mettre en commentaire l’argument simple et élégant qui permet de construire cette famille.

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