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Cette page a été réalisée sur LaTeX, puis transformée en HTML avec un script python (pour les détails, voir ici). Pour illustrer les fonctionnalités du script, rien de mieux qu’un petit problème, particulièrement simple, mais encore une fois, c’est juste une illustration.

Le train (*)

Un train doit parcourir \({100}\) km pour aller de \({A}\) à \({B}\). Sa vitesse à l’aller est de \({50}\) km/h. Quelle doit être sa vitesse au retour pour que sa vitesse moyenne soit de \({100}\) km/h sur tout le trajet ?

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Ce n’est pas possible : le train doit avoir une vitesse infinie.

En effet, si le train a une vitesse moyenne de \({100}\) km/h, alors son trajet total doit durer \({2}\)h. Or, il prend déjà \({2}\)h pour faire l’aller…

On peut généraliser le problème avec d’autres vitesses et d’autres distances. Notons \({d}\) la distance entre \({A}\) et \({B}\), \({v_1}\) la vitesse du train à l’aller, \({v_2}\) celle du train au retour, et \({v_M}\) la vitesse moyenne.

Pour faire l’aller, le train met un temps \({t_1 = d/v_1}\), et pour faire le retour, il met un temps \({t_2 = d/v_2}\) pour faire le retour. Sa vitesse moyenne est donc

\(\displaystyle v_M = \dfrac{2d}{t_1 + t_2} = \dfrac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}} = \dfrac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}, \)

ou encore

\(\displaystyle \dfrac{2}{v_M} = \dfrac{1}{v_1} + \dfrac{1}{v_2}. \ \ \ \ \ (1)\)

C’est ce qu’on appelle une moyenne harmonique. On remarque que cette équation ne fait pas intervenir la distance \({d}\). On trouve, à partir de (1), que

\(\displaystyle \boxed{v_2 = \dfrac{1}{\frac{2}{v_M} – \frac{1}{v_1}}. } \)

Évidemment, cette équation n’a un sens que si \({\dfrac{2}{v_M} – \dfrac{1}{v_1} > 0}\). On peut aussi faire un mini script Python pour résoudre le problème.

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