Mettre des biscuits dans une boîte

Ce problème m’a été posé par mon ami Ilia Smilga. Je le trouve très élégant, et le pose souvent à mes collègues.

Les biscuits dans la boîte

Peut-on ranger \({401}\) biscuits ronds de rayon 1 dans une boîte rectangulaire de taille \({4×400}\) ?

Évidemment, si on place les biscuits « 2 par 2 », on ne peut en mettre que 400. La question est donc de savoir s’il y a moyen de mieux disposer les biscuits.

Cliquez ici pour voir la solution
La réponse est oui, et voici la solution pour mettre \({337}\) biscuits dans une boîte de taille \({4 \times 336}\).

L’idée est de mettre les biscuits 6 par 6, en répétant la configuration suivante~:

En effet, tentons de calculer \({d}\) sur la figure. On note \({(x_A, y_A)}\) les coordonnées du centre du disque \({A}\), etc. On a directement

\(\displaystyle (x_A, y_A)= (1, 1) \quad \text{et} \quad (x_C, y_C)= (3,1). \)

De plus, comme les centres des cercles \({A, B, C}\) forment un triangle équilatéral, on trouve facilement

\(\displaystyle (x_B,y_B) = (2, 1 + \sqrt{3}). \)

On a aussi \({y_D = 3}\). Le nombre \({x_D}\) est plus complexe à trouver. En écrivant que la distance \({BD}\) est \({2}\), on obtient le système

\(\displaystyle \begin{cases} (x_B – x_D)^2 + (y_B – y_D)^2 = 4 \\ y_D = 3 \end{cases} \)

ce qui donne \({x_D^2 – 4x_D + 7 – 4 \sqrt{3} = 0}\), et donc \({x_D = 2 + \sqrt{4 \sqrt{3} – 3}}\). En répétant ces calculs, on déduit que \({d = 2 (x_D – 1)}\), soit \({d = 2+2\sqrt{4 \sqrt{3} – 3} \approx 5.963939…}\).

On remarque que \({d < 6}\). On a donc réussi à placer \({6}\) biscuits sur une distance strictement plus petite que \({6}\). Si on répète l’opération \({56}\) fois, on place \({56 \times 6 = 336}\) biscuits dans une boite de longueur \({1 + 66 \times d \approx 334.98 < 335}\) (le \({1}\) vient du fait que le dernier biscuit \({F}\) dépasse au dessus), et, en rajoutant un biscuit dans le coin en bas à droite, on place \({337}\) biscuits dans une boîte de taille \({336}\).

Ce type de problème est un problème de packing. Ces problèmes sont simples à comprendre, et donnent parfois des résultats inattendus. Je recommande vivement ce site pour la visualisation de packings optimaux.

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