La non-information est une information

Voici une série de problèmes avec information cachée. Afin qu’on ne m’accuse point de sexisme, toutes les énigmes seront au féminin (c’est une expérience). N’hésitez pas à mettre vos impressions en commentaire. En guise d’apéritif, une anecdote.

Trois logiciennes entrent dans un bar. La barwoman demande : « vous prendrez toutes les trois des bières ? »
La première logicienne répond : « je ne sais pas. »
La seconde logicienne répond : « je ne sais pas. »
La troisième logicienne répond : « oui ! »

Et maintenant les choses sérieuses. Un premier problème classique (mais que je n’aime pas, car il ne se généralise pas à \({N > 3}\)).

Les chapeaux (*)

Trois mathématiciennes, Alice, Béa et Cécile, sont dans une salle, ainsi que 2 chapeaux noirs et 3 chapeaux blancs.
Les trois mathématiciennes ferment les yeux. On place un chapeau sur la tête de chacune d’entre elle, puis on cache les 2 autres chapeaux. Lorsque les mathématiciennes ré-ouvrent les yeux, chacune peut voir la couleur des chapeaux des 2 autres personnes, mais pas la couleur du sien.
On leur dit qu’elles ont 15 minutes pour trouver la couleur de leur chapeau, et de sortir quand elles ont trouvé. Cependant, les personnes n’ont pas le droit de communiquer.
Au bout des 15 minutes, personne n’est sorti, mais chaque personne connaît la couleur de son chapeau. De quelles couleurs sont les chapeaux ?

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Les 3 chapeaux sont blancs.

En effet, si on place 2 chapeaux noirs et 1 chapeau blanc, celle qui a le chapeau blanc voit les 2 chapeaux noirs, et en déduit tout de suite qu’elle a un chapeau blanc. En sortant tout de suite, elle indique aux autres personnes qu’elles ont des chapeaux noirs.

Si on place 1 chapeau noir (sur Alice) et 2 chapeaux blancs sur Béa et sur Cécile, Béa peut faire le raisonnement suivant : si j’ai un chapeau noir, alors Cécile verrait 2 chapeaux noirs, et elle pourrait (et devrait) sortir tout de suite. Cependant, elle ne sort pas. C’est donc que j’ai un chapeau blanc. Je peux donc sortir, mais si je sors, je vais fausser le raisonnement de Cécile, qui est en train de faire le même raisonnement. Je dois donc rester dans la salle.

Attention. Béa et Cécile doivent cependant sortir de la salle avant les 15 minutes, sinon Alice ne peut pas trouver la couleur de son chapeau… c’est pourquoi je n’aime pas trop cette énigme : quand doit sortir Béa s’il y a 10 chapeaux ?

On passe maintenant à cette curieuse conversation entre une factrice et une mère.

L’âge des trois filles (*)

La mère : « J’ai trois filles. Le produit de leur âge est 36, et la somme est égale au numéro de la maison en face. »
La factrice : « Humm, cela ne me permet pas de trouver l’âge de vos filles. »
La mère : « L’aînée est blonde. »
La factrice : « Dans ce cas, je connais l’âge de vos filles. »
Quel est l’âge des trois filles ?

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Écrivons toutes les décompositions de \({36}\) en produit de trois nombres entiers, et calculons pour chacune de ces décompositions la somme de ces nombres. On obtient :
\({36 = 36 \times 1 \times 1}\) avec \({36+1+1 = 38}\)
\({36 = 18 \times 2 \times 1}\) avec \({18+2+1 = 21}\)
\({36 = 12 \times 3 \times 1}\) avec \({12+3+1 = 16}\)
\({36 = 9 \times 4 \times 1}\) avec \({9+4+1 = 14}\)
\({36 = 9 \times 2 \times 2}\) avec \({9+2+2 = 13}\)
\({36 = 6 \times 6 \times 1}\) avec \({6+6+1 = 13}\)
\({36 = 6 \times 3 \times 2}\) avec \({6+3+2 = 11}\)
\({36 = 4 \times 3 \times 3}\) avec \({4+3+3 = 10}\)

Lorsque la factrice indique qu’elle ne sait pas, elle indique que le numéro d’en face ne permet pas de déduire les trois nombres. D’après les décompositions ci-dessus, le numéro en face ne peut être que \({13=9+2+2=6+6+1}\). Enfin, puisqu’il existe une fille ainée, c’est qu’il s’agit de la décomposition \({(9,2,2)}\). L’ainée a donc \({9}\) ans, et les deux autres filles ont \({2}\) ans.

Et pour celles et ceux qui disent que deux filles de même âge ne sont pas forcément jumelles, elles ou ils ont raison, et peuvent passer à l’énigme suivant.

Le dernier problème est (encore) un classique, généralement connu sous le nom des cocus de Bagdad. Cependant, afin de garder une bonne morale sur ce blog, nous ne cocufierons personne, et nous les pendrons à la place.

Le couvent (**)

Dans un couvent de bonnes sœurs à l’écart du reste du monde, un phénomène rare fait parfois apparaitre des marques rouges à l’arrière du cou des bonnes sœurs. Tout le monde peut voir ces marques, sauf évidemment celles qui les ont. Bien que cette marque soit parfaitement inoffensive, elles sont interprétées dans ce couvent comme l’œuvre de la diablesse, et les bonnes sœurs qui apprennent qu’elles ont cette marque se pendent le soir même où elles l’apprennent. Heureusement, les sœurs ont toutes fait vœu de silence, et elles n’ont pas le droit de communiquer entre elles.
Un jour, Mère Alice, du couvent voisin (et n’ayant pas fait vœu de silence), vient visiter ce couvent qui comprend alors 20 bonnes sœurs. Lors du déjeuner, Mère Alice ne peut s’empêcher de briser la loi du silence et demande : « j’ai vu une marque rouge sur un cou, qu’est ce que c’est ? » Évidemment, personne ne répond, et Alice s’en va après le repas sans avoir la réponse à sa question.

Et puis, au matin du 7ème jour suivant sa visite, on retrouve 7 sœurs pendues dans leur cellule. Pourquoi ? Combien y avait-il de marques lors de la visite d’Alice ?

Notez que s’il y a au moins 2 marques dans le couvent au moment de la visite de Mère Alice, alors chaque sœur sait à ce moment qu’Alice va voir une marque rouge. Donc a priori, Mère Alice n’apprend rien à personne en disant qu’elle a vu des marques rouges… Quelle l’information a apportée Alice lors de sa visite ?

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Après la visite d’Alice, chaque sœur sait que les autres savent aussi. Voyons ce qui se passe dans les cas simples.

Supposons pour commencer que seule sœur Brigitte a une marque rouge. Dans ce cas, lorsqu’Alice dit qu’elle a vu une marque rouge, comme Brigitte n’en voit aucune, elle en déduit que c’est elle qui a une marque rouge. Elle se pendra donc la nuit de la visite, et on retrouvera 1 pendue le matin du 1er jour.

Supposons maintenant qu’il y a 2 marques rouges, sur les cous de Brigitte et de Caroline. Caroline voit la marque rouge de Brigitte, et se dit que si elle n’a pas de marque rouge, alors Brigitte sera retrouvée pendue le lendemain selon le raisonnement précédent. Mais le lendemain, comme Brigitte ne se sera pas pendue (car elle voit aussi une marque rouge), Caroline en déduira qu’elle a aussi une marque rouge. Évidemment, Brigitte fera le même raisonnement. On retrouvera donc 2 pendues le matin du 2eme jour.

En raisonnement par récurrence, on peut se convaincre que s’il y a \({N}\) marques rouges, alors on retrouvera \({N}\) pendues au matin du \({N}\)-ème jour. Il y a avait donc 7 marques rouges lors de la visite de mère Alice.

Pour celles et ceux qui veulent plus de problèmes de ce type, je vous conseille d’aller voir mon précédent post sur le problème de Freudenthal.

Lien pour marque-pages : Permaliens.

Un Commentaire

  1. Réflexion sur la deuxième énigme:
    Le thème des énigmes de cette page est l’information cachée. À priori la couleur de cheveux d’une des trois filles n’influe pas sur son âge (du moins d’un point de vue non probabiliste). C’est donc l’existence d’une aînée qui est l’information cachée de cette énigme.
    Ainsi la factrice ayant connaissance du numéro d’en face ne parvient pas à deviner l’âge des trois filles avant cette information cachée. On apprend donc que deux configarations ou plus étaient possibles jusque là mais qu’une seule d’entre elle comportait une unique aînée.
    Ainsi après recherche des configurations possibles, seule la combinaison 2-2-9 et 1-6-6 donnait le même résultat de somme et de produit mais différait par la présence d’une aînée. La factrice hésitait entre ces deux là et l’information dissimulée lui donna accès à la réponse: les filles sont âgées de 2 ans, 2 ans et 9 ans. Et la famille heureusement est protégée du mauvais sort et habite en face et non pas au numéro 13. 🙂

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