La non-information est une information

Voici une série de problèmes avec information cachée. Afin qu’on ne m’accuse point de sexisme, toutes les énigmes seront au féminin (c’est une expérience). N’hésitez pas à mettre vos impressions en commentaire. En guise d’apéritif, une anecdote.

Trois logiciennes entrent dans un bar. La barwoman demande : « vous prendrez toutes les trois des bières ? »
La première logicienne répond : « je ne sais pas. »
La seconde logicienne répond : « je ne sais pas. »
La troisième logicienne répond : « oui ! »

Et maintenant les choses sérieuses. Un premier problème classique (mais que je n’aime pas, car il ne se généralise pas à \({N > 3}\)).

Les chapeaux (*)

Trois mathématiciennes, Alice, Béa et Cécile, sont dans une salle, ainsi que 2 chapeaux noirs et 3 chapeaux blancs.
Les trois mathématiciennes ferment les yeux. On place un chapeau sur la tête de chacune d’entre elle, puis on cache les 2 autres chapeaux. Lorsque les mathématiciennes ré-ouvrent les yeux, chacune peut voir la couleur des chapeaux des 2 autres personnes, mais pas la couleur du sien.
On leur dit qu’elles ont 15 minutes pour trouver la couleur de leur chapeau, et de sortir quand elles ont trouvé. Cependant, les personnes n’ont pas le droit de communiquer.
Au bout des 15 minutes, personne n’est sorti, mais chaque personne connaît la couleur de son chapeau. De quelles couleurs sont les chapeaux ?

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On passe maintenant à cette curieuse conversation entre une factrice et une mère.

L’âge des trois filles (*)

La mère : « J’ai trois filles. Le produit de leur âge est 36, et la somme est égale au numéro de la maison en face. »
La factrice : « Humm, cela ne me permet pas de trouver l’âge de vos filles. »
La mère : « L’aînée est blonde. »
La factrice : « Dans ce cas, je connais l’âge de vos filles. »
Quel est l’âge des trois filles ?

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Le dernier problème est (encore) un classique, généralement connu sous le nom des cocus de Bagdad. Cependant, afin de garder une bonne morale sur ce blog, nous ne cocufierons personne, et nous les pendrons à la place.

Le couvent (**)

Dans un couvent de bonnes sœurs à l’écart du reste du monde, un phénomène rare fait parfois apparaitre des marques rouges à l’arrière du cou des bonnes sœurs. Tout le monde peut voir ces marques, sauf évidemment celles qui les ont. Bien que cette marque soit parfaitement inoffensive, elles sont interprétées dans ce couvent comme l’œuvre de la diablesse, et les bonnes sœurs qui apprennent qu’elles ont cette marque se pendent le soir même où elles l’apprennent. Heureusement, les sœurs ont toutes fait vœu de silence, et elles n’ont pas le droit de communiquer entre elles.
Un jour, Mère Alice, du couvent voisin (et n’ayant pas fait vœu de silence), vient visiter ce couvent qui comprend alors 20 bonnes sœurs. Lors du déjeuner, Mère Alice ne peut s’empêcher de briser la loi du silence et demande : « j’ai vu une marque rouge sur un cou, qu’est ce que c’est ? » Évidemment, personne ne répond, et Alice s’en va après le repas sans avoir la réponse à sa question.

Et puis, au matin du 7ème jour suivant sa visite, on retrouve 7 sœurs pendues dans leur cellule. Pourquoi ? Combien y avait-il de marques lors de la visite d’Alice ?

Notez que s’il y a au moins 2 marques dans le couvent au moment de la visite de Mère Alice, alors chaque sœur sait à ce moment qu’Alice va voir une marque rouge. Donc a priori, Mère Alice n’apprend rien à personne en disant qu’elle a vu des marques rouges… Quelle l’information a apportée Alice lors de sa visite ?

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Pour celles et ceux qui veulent plus de problèmes de ce type, je vous conseille d’aller voir mon précédent post sur le problème de Freudenthal.

Lien pour marque-pages : Permaliens.

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