La montre

Il existe beaucoup de problèmes avec des montres, mais celui-ci est mon préféré. Il m’a été proposé par mon ami Fathi.

La montre aux deux aiguilles (*) La montre d’Alice a ses deux aiguilles de la même taille. Combien de fois par jour ne peut-elle pas savoir l’heure qu’il est ?

Il existe sans doute plusieurs façons de résoudre l’énigme. La solution suivante est géométrique.

Cliquez ici pour voir la solution
Évidemment, il ne faut pas oublier que la petite aiguille d’une montre tourne de manière continue lorsque la grande aiguille tourne.

L’idée est de représenter les positions des aiguilles par un point sur un tore. Plus exactement, prenons le tore \({\mathbb{T}^2 := [0,1] \times [0,1]}\). S’il est \({H}\) heures et \({M}\) minutes, avec \({0 \le H < 12}\) et \({0 \le M < 60}\), on représente l’heure par le point sur le tore de coordonnées \({(\frac{H}{12} + \frac{M}{12\times60}, \frac{M}{60})}\). Voir l’animation suivante.

Lorsque le temps passe, le point parcourt une ligne sur ce tore, ici la ligne rouge.

Supposons maintenant que les deux aiguilles ont la même taille. On ne sait plus alors quel est l’axe des abscisses et quel est l’axe des ordonnées. Autrement dit, on ne sait pas si, dans la figure suivante, notre montre est représentée par la courbe rouge (l’aiguille rouge est la petite aiguille) ou la courbe bleue (l’aiguille bleue est la petite aiguille) :

Si l’heure est un point qui est sur l’une des deux courbes seulement, par exemple la rouge, alors on sait que la petite aiguille est l’aiguille rouge, et on en déduit l’heure qu’il est.

Les moments où on ne peut pas distinguer les deux aiguilles sont donc les moments où les deux courbes se croisent. Il y a \({12 \times 12 = 144}\) tels croisements, donc 144 moments dans une période de 12h où on ne peut pas distinguer les aiguilles (on a compté deux fois midi-minuit, mais cela n’a pas d’importance avec la suite).

Parmi ces 144 croisements, il y en a 12 où on peut quand même dire l’heure qu’il est : ce sont les croisements qui se trouvent sur la diagonale. Dans ces cas, les deux aiguilles sont superposées, et on sait quand même l’heure qu’il est !

Au final, on trouve que dans une période de 12h, il y a 144-12 = 132 moments où on ne peut pas dire l’heure qu’il est.

Pour l’anecdote, saviez-vous que la grande aiguille des horloges des gares suisses tournent en 58 secondes, et non en 60 : cf. Wikipédia.

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