Les chocolats au carré

La saison des fêtes approche, et il est temps de revoir ses classiques. En l’occurrence, il s’agit des problèmes de maths avec les tablettes de chocolat. Le premier est très classique.

La tablette de chocolat (*)

André et Béatrice jouent avec une tablette de chocolat, composée de \({M \times N}\) carrés de chocolats. La tablette est posée sur la table. À tour de rôle, chaque joueur prend un bout de tablette sur la table, casse ce bout le long d’une rainure (soit horizontalement, soit verticalement), puis repose les (deux) bouts sur la table. Le joueur qui ne peut plus casser de bouts perd (et l’autre mange tout le chocolat). André commence. Peut-il gagner ?

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Une égalité intégrale

J’ai trouvé cette égalité dans un article de Vassilis Papanicolaou (Ewald’s Method Revisited: Rapidly Convergent Series Representations of Certain Green’s Functions), et je l’ai trouvée très étrange. Voici l’énoncé.

Une égalité intégrale

Soit \({f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) une fonction intégrable sur \({\mathbb{R}}\). Montrer que

\(\displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(x) {\rm d} x = \int_{\mathbb{R}} f \left( x – \frac{1}{x} \right) {\rm d} x. \)

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Les enveloppes

Après une longue absence sur mon blog, j’ai décidé de changer de format. Je vais m’autoriser des articles plus courts, pour en faire plus souvent. Pour fêter ça, voici un de mes problèmes préférés. Il vient de mon ami Mathias, qui l’a trouvé sur le blog de David Madore.

Les enveloppes (***)

Un logicien arrive en enfer (normal, c’est un logicien !). Le diable, qui est toujours très joueur, lui tend 2 enveloppes, et lui dit :
«J’ai écrit un nombre réel dans chacune de ces deux enveloppes. Les deux nombres sont différents. Tu as le droit d’en ouvrir une et de regarder le nombre à l’intérieur. Tu dois ensuite me dire si tu penses que ce nombre est plus grand ou plus petit que l’autre. Si tu trouves correctement, tu gagnes, et tu pourras aller au paradis !»
Montrer qu’il existe une stratégie pour le logicien qui lui permette d’aller au paradis avec une probabilité strictement supérieure à \({1/2}\).

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Les chapeaux

Si les chapeaux sont un peu passés de mode, les problèmes des chapeaux restent des grands classiques.

Les chapeaux

Dans la prison des logiciens, on propose le jeu suivant à 100 prisonniers. On dispose les 100 prisonniers en file indienne, de sorte que chaque logicien peut voir les logiciens devant lui, mais pas ceux derrière lui. On place un chapeau noir ou blanc sur la tête de chacun d’entre eux, puis on demande tour à tour aux logiciens de deviner la couleur de leur chapeau. On commence par demander à celui de derrière (celui qui voit 99 chapeaux), puis on remonte pour finir avec celui de devant (celui qui n’en voit aucun). Chaque logicien entend toutes les réponses précédentes.

Si un logicien trouve la couleur de son chapeau correctement, il est libéré. S’il ne trouve pas, il est condamné à faire des mathématiques appliquées pour le restant de ses jours.

Les logiciens ont le droit de ce concerter avant le jeu et d’établir une stratégie. Quelle stratégie permet de minimiser le nombre de matheux appliqués ?

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Combinatoire extrême

Je suis allé il y a peu de temps au séminaire What is…? de l’ETHZ (Zurich), pour écouter l’exposé What is … Extremal Combinatorics? Si vous passez à Zurich, allez à ce séminaire, qui est le seul séminaire que je connais où sont offerts des bières et des pizzas. L’orateur était D. Korándi, et nous a proposé une série de problèmes en rapport avec la combinatoire extrême, pour qu’on comprenne ce qu’est ce nouveau sport de l’extrême.

Nous commençons par un problème classique avec des échiquiers.

L’échiquier

Quel est le nombre maximum de tours qu’on peut placer sur un échiquier \({8 \times 8}\) sans qu’aucune ne puisse en prendre une autre ? Même question avec des fous. Même question avec des cavaliers.

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Le problème de Freudenthal

Ce problème m’a été posé initialement par mon père quand j’étais assez jeune, et je me souviens avoir noirci un grand nombre de feuilles pour trouver la solution (je n’avais pas encore appris à coder). J’ai appris récemment que ce problème s’appelle le problème de Freudenthal, et je vous invite à aller voir l’article de Jean-Paul Delahaye sur ce sujet.

La somme et le produit (***)

Alice tient le discours suivant : J’ai choisi deux nombres entiers \({X}\) et \({Y}\) tel que \({2 \le X \le Y \le 100}\). À toi Pauline, je vais te donner le produit des deux nombres \({P = X\times Y}\), et à toi Sophie, je vais te donner la somme des nombres \({S = X+Y}\). Voici la conversation qu’ont Pauline et Sophie.
Pauline : « Je ne peux pas déduire les deux nombres. »
Sophie : « Je le savais ! »
Pauline : « Dans ce cas, je connais les deux nombres. »
Sophie : « Alors moi aussi. »
Quels sont les deux nombres choisis par Alice ?

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Questions dénombrables

Commençons tout de suite la catégorie Problèmes par un nombre (au plus) dénombrable de problèmes sur les ensembles dénombrables.

Ce premier problème m’a été posé par mon ami Bastien, et fait parti de mes problèmes favoris. Voici l’énoncé.

Les 8 (*)

On appelle 8 une courbe fermée comportant exactement un point double. Peut-on mettre un nombre indénombrable de 8 dans le plan qui sont 2 à 2 disjoints ?

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