Les chocolats au carré

La saison des fêtes approche, et il est temps de revoir ses classiques. En l’occurrence, il s’agit des problèmes de maths avec les tablettes de chocolat. Le premier est très classique.

La tablette de chocolat (*)

André et Béatrice jouent avec une tablette de chocolat, composée de \({M \times N}\) carrés de chocolats. La tablette est posée sur la table. À tour de rôle, chaque joueur prend un bout de tablette sur la table, casse ce bout le long d’une rainure (soit horizontalement, soit verticalement), puis repose les (deux) bouts sur la table. Le joueur qui ne peut plus casser de bouts perd (et l’autre mange tout le chocolat). André commence. Peut-il gagner ?

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Il y a évidemment un truc. À chaque tour, le nombre de « morceaux » augmente de 1. Au départ, il y a 1 morceau (la tablette), et à la fin, il doit y en avoir \({M N}\) (le nombre de carrés de chocolats dans la tablette). Ainsi, quelle que soit la stratégie des joueurs, André gagne si le produit \({M N}\) est pair, et perd sinon.

En voici une variante difficile, qui m’a été posée par mon ami Raphaël Ducatez.

La tablette de chocolat empoisonnée (***)

André et Béatrice jouent cette fois avec une tablette de chocolat ayant \({M \times N}\) carrés de chocolats, mais le carré en bas à gauche est empoisonné. À tour de rôle, chaque joueur choisit un carré de la tablette, et mange tous les morceaux à droite et/ou au dessus de ce carré (dont celui-ci). Le joueur qui mange le carré empoisonné meurt dans d’atroces souffrances. André commence. Peut-il gagner ?

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Tout d’abord un indice : la preuve n’est pas constructive. Je ne connais pas de stratégie gagnante pour André…

Évidemment, si \({M = N = 1}\), André doit choisir le carré empoisonné, et perd. Sinon, montrons qu’il peut toujours gagner.

Pour cela, on suppose par l’absurde qu’au premier coup, quel que soit le carré de chocolat qu’il choisit, Béatrice a une stratégie gagnante pour gagner (on dira que ces carrés sont quasi-empoisonnés). Il prend alors le carré en haut à droite. C’est ensuite à Béatrice de jouer, et de prendre un de ces carrés quasi-empoisonnés. André peut alors copier la stratégie de Béatrice,… et gagner !

Autrement, dit, André a toujours la possibilité de passer son tour.

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